Question

已知點A（-1，0），點B（與A不重合）在射線AO上，點C在x軸上方，且△ABC為等邊三角形，射線AC交y軸于D．
（1）當AB=4時，則點B、C、D的坐標分別是：B：

（3，0）

，C：

（1，2

3

）

，D：

（0，

3

）

；
（2）若AB=m（m＞0），則點B、C的坐標分別是：B：

（m-1，0）

，C：

（

1

2

m-1，

3

2

m）

；
當C、D不重合時，請根據m的不同取值，對于過B、C、D三點的二次函數開口方向作出判斷，直接寫出結論（不要求證明）．
（3）是否存在點B，使S△BCD=

3 3

16

？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點A（-1，0）及AB=4，易得出B點坐標為（3，0）；過點C作CE⊥x軸于點E，根據等邊三角形的性質求出，AE=

1

2

AB=2，CE=

3

AE=2

3

，則OE=1，得到C點坐標為（1，2

3

）；解Rt△AOD，得出OD=OA•tan60°=

3

，進而得到D點坐標為（0，

3

）；
（2）先由AB=m，點A（-1，0），得出B（m-1，0）；過點C作CE⊥x軸于點E，根據等邊三角形的性質得出，AE=

1

2

AB=

1

2

m，CE=

3

AE=

3

2

m，由兩點間的距離公式求出點E（

1

2

m-1，0），則C點坐標為（

1

2

m-1，

3

2

m）；先由已知條件得出m≠1且m≠2，再分兩種情況進行討論：①0＜m＜1，②m＞1（m≠2），根據B、C、D三點的位置及拋物線的形狀特征，即可得到過B、C、D三點的二次函數的開口方向；
（3）設AB=m，分兩種情況進行討論：
①當m＞2時，如備用圖1，先根據三角形的面積公式得出S_△BCD=S_△ABC-S_ABD=

3

4

m²-

3

2

m，再列出方程

3

4

m²-

3

2

m=

3 3

16

，解方程即可求出點B₁的坐標；
②當0＜m＜2時，如備用圖2，先根據三角形的面積公式得出S_△BCD=S_△ABD-S_ABC=-

3

4

m²+

3

2

m，再解方程-

3

4

m²+

3

2

m=

3 3

16

，解方程即可．

解答：解：（1）∵點A（-1，0），點B（與A不重合）在射線AO上，AB=4，
∴B點坐標為（3，0）；
過點C作CE⊥x軸于點E，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AE=

1

2

AB=2，CE=

3

AE=2

3

，
∴OE=AE-OA=2-1=1，
∴C點坐標為（1，2

3

）；
在△AOD中，∵∠AOD=90°，∠OAD=60°，OA=1，
∴OD=OA•tan60°=

3

，
∴D點坐標為（0，

3

）；

（2）∵AB=m，點A（-1，0），
∴B（m-1，0）；
過點C作CE⊥x軸于點E，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

m，CE=

3

AE=

3

2

m，
∵點A（-1，0），
∴點E（

1

2

m-1，0），
C點坐標為（

1

2

m-1，

3

2

m）．
∵C、D不重合，
∴m≠2，
又m=1時，B與O重合，過B、C、D三點的二次函數不存在，
∴m≠1且m≠2．
當0＜m＜1時，B點在x軸負半軸上，過B、C、D三點的拋物線開口向上；
當m＞1（m≠2）時，B點在x軸正半軸上，過B、C、D三點的拋物線開口向下；

（3）存在點B，使S_△BCD=

3 3

16

．理由如下：
設AB=m，分兩種情況：
①當m＞2時，如備用圖1．
S_△BCD=S_△ABC-S_ABD=

3

4

m²-

1

2

m•

3

=

3

4

m²-

3

2

m，
由

3

4

m²-

3

2

m=

3 3

16

，
解得m₁=

2+ 7

2

，m₂=

2- 7

2

（不滿足m＞2，舍去），
所以有m=

2+ 7

2

，-1+

2+ 7

2

=

7

2

，
這時點B₁的坐標為（

7

2

，0）；
②當0＜m＜2時，如備用圖2，S_△BCD=S_△ABD-S_ABC=

1

2

m•

3

-

3

4

m²=-

3

4

m²+

3

2

m，
由-

3

4

m²+

3

2

m=

3 3

16

，
解得m₁=

1

2

，m₂=

3

2

，
-1+

1

2

=-

1

2

，-1+

3

2

=

1

2

，
這時點B₂的坐標為（-

1

2

，0），點B₃的坐標為（

1

2

，0）．
綜上所述，當點B的坐標為（

7

2

，0），（-

1

2

，0）和（

1

2

，0）時，有S_△BCD=

3 3

16

．
故答案為（3，0），（1，2

3

），（0，

3

）；（m-1，0），（

1

2

m-1，

3

2

m）．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，解直角三角形，二次函數的性質，兩點間的距離公式，三角形的面積，解一元二次方程等知識，綜合性較強，難度適中，運用數形結合及分類討論思想是解題的關鍵．