Question

【題目】如圖，割線(xiàn)ABC與⊙O相交于B、C兩點(diǎn)，D為⊙O上一點(diǎn)，E為弧BC的中點(diǎn)，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD．

（1）求證明：AD是⊙D的切線(xiàn)；

（2）若∠A＝60°，⊙O的半徑為4，求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）DE＝4．

【解析】

（1）要證AD是⊙O的切線(xiàn)，只要連接OD，再證∠ADO＝90°即可；

（2）作OH⊥ED于H，根據(jù)垂徑定理得到DE＝2DH，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：連接OD．

∵E為BC的中點(diǎn)，

∴OE⊥BC，

∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∴∠AGD +∠OED＝∠EGF+∠OED＝90°，

∵∠AGD＝∠ADG，

∴∠ADG+∠ODE＝90°，即OD⊥AD，

∴AD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）作OH⊥ED于H，

∴DE＝2DH，

∵∠ADG＝∠AGD，

∴AG＝AD，

∵∠A＝60°，

∴∠ADG＝60°，

∴∠ODE＝30°，

∵OD＝4，

∴DH＝OD＝2，

∴DE＝2DH＝4．