Question

如圖所示，在平面直角坐標系O中xy，已知點A（-，0），點C（0，3），點B是x軸上一點（位于點A的右側），以AB為直徑的圓恰好經過點C。
（1）求∠ACB的度數；
（2）已知拋物線線y=ax²+bx+3過A、B兩點，求拋物線的解析式；
（3）線段BC上是否存在點D，使△BOD為等腰三角形，若存在，則求出所有符合條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1） ∵以AB為直徑的圓恰好經過點C ， ∴∠ACB=90°，
（2） ∵△AOC∽△ABC， ∴OC2=AO·OB， ∵A（-，0），點C（0，3）， ∴ AO=，OC=3， ∴ 32=OB， ∴OB=4， ∴B（4，0）， ∴設拋物線的解析式為 把C點坐標代入得，解得， ∴拋物線的解析式為， 即。
（3） 存在。分兩種情況討論： ①OD=OB， D在OB的中垂線上，過D作DH⊥OB，垂足是H ，則H是OB 中點， DH=OC，OH=OB， ∴D（2，）； ②BD=BO， 過D作DG⊥OB，垂足是G，則OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1， ∵DG∥CO， ∴OG∶OB=CD∶CB， 即OG∶4=1∶5， ∴OG=； DG∶CO=BD∶BC， 即DG∶3=4∶5， ∴DG=， ∴D（，）， 綜上所述，線段BC上存在點D，使△BOD為等腰三角形，點D的坐標為（2，），（，）。