Question

【題目】(本題滿分10分)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋4與x軸的一個交點為A(－2，0)，與y軸的交點為C，對稱軸是x＝3，對稱軸與x軸交于點B.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)經過B，C的直線l平移后與拋物線交于點M，與x軸交于點N，當以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的表達式為y＝－x2＋x＋4　；(2) M的坐標為(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4).

【解析】解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋4交x軸于A(－2，0)，∴0＝4a－2b＋4，∵對稱軸是直線x＝3，∴－＝3，即6a＋b＝0，關于a，b的方程聯立解得 a＝－，b＝，∴拋物線的表達式為y＝－x2＋x＋4　(2)∵四邊形為平行四邊形，且BC∥MN，∴BC＝MN.①N點在M點下方，即M點向下平移4個單位，向右平移3個單位與N重合．設M1(x，－ x2＋x＋4)，則N1(x＋3，－ x2＋x)，∵N1在x軸上，∴－x2＋x＝0，解得 x＝0(M與C重合，舍去)，或x＝6，∴xM＝6，∴M1(6，4)；②M點在N點右下方，即N向下平移4個單位，向右平移3個單位與M重合．設M(x，－ x2＋x＋4)，則N(x－3，－ x2＋x＋8)，∵N在x軸上，∴－x2＋x＋8＝0，解得 x＝3－，或x＝3＋，∴xM＝3－或3＋.∴M2(3－，－4)或M3(3＋，－4)．綜上所述，M的坐標為(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4)