Question

推理證明：如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D過D作DE⊥BC，垂足為E，連結OE，CD=，∠ACB=30°.

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）分別求AB，OE的長；
（3）填空：如果以點E為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為1，則r的取值范圍為        .

Answer 1

（1）見解析（2）2，（3）

（1）證明：連接BD
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
∴OD∥BC
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．（4分）
（2）解：在Rt△CBD中CD=  ，∠ACB=30°，
∴BC="CD8" cos30° = =2，
∴AB=2．
在Rt△CDE中，CD= ，∠ACB=30°，
∴DE= CD=× =  ．
在Rt△ODE中，OE==
（3）………9分
（1）根據AB是直徑即可求得∠ADB，再根據題意可求出OD⊥DE，即得出結論；
（2）根據三角函數的定義，即可求得AB，再在Rt△CDE中，根據直角三角形的性質，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可
（3）根據兩圓的位置關系解答