Question

三等分角儀--把材料制成如圖所示的陰影部分的形狀，使AB與半圓的半徑CB、CD相等，PB垂直于AD．這便做成了“三等分角儀”．如果要把∠MPN三等分時，可將三等分角儀放在∠MPN上，適當調整它的位置，使PB通過角的頂點P，使A點落在角的PM邊上，使角的另一邊與半圓相切于E點，最后通過B、C兩點分別作兩條射線PB、PC，則∠MPB=∠BPC=∠CPN．請用推理的方法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：由題意得出AP=AC，根據等腰三角形三線合一的性質得出∠MPB=∠CPB，再根據PB⊥BC且BC為半圓的直徑，得∠BPC=∠CPN，則．∠MPB=∠BPC=∠CPN．
解答：證明：∵AB=BC，PB⊥AC，
∴AP=PC，
∴∠MPB=∠CPB，（4分）
∵PB⊥BC且BC為半圓的半徑，
∴PB為半圓的切線，（6分）
又∵PN為半圓的切線，
∴∠BPC=∠CPN，
∴∠MPB=∠BPC=∠CPN．       （8分）
點評：本題考查了切線的判定和性質，是一個實際應用，驗證一個三等分角儀．