Question

在平面直角坐標系xOy中，點P是拋物線：y=x²上的動點（點在第一象限內）．連接 OP，過點0作OP的垂線交拋物線于另一點Q．連接PQ，交y軸于點M．作PA丄x軸于點A，QB丄x軸于點B．設點P的橫坐標為m．

（1）如圖1，當m=時，

①求線段OP的長和tan∠POM的值；

②在y軸上找一點C，使△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，求點C的坐標；

（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點D、E．

①用含m的代數式表示點Q的坐標；

②求證：四邊形ODME是矩形．

Answer 1

考點：

二次函數綜合題。

專題：

代數幾何綜合題；分類討論。

分析：

（1）①已知m的值，代入拋物線的解析式中可求出點P的坐標；由此確定PA、OA的長，通過解直角三角形易得出結論．

②題干要求△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO兩種情況來判斷：

QO=QC時，Q在線段OC的垂直平分線上，Q、O的縱坐標已知，C點坐標即可確定；

QO=OC時，先求出OQ的長，那么C點坐標可確定．

（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通過相關的比例線段來表示出點Q的坐標；

②在四邊形ODME中，已知了一個直角，只需判定該四邊形是平行四邊形即可，那么可通過證明兩組對邊平行來得證．

解答：

解：（1）①把x=代入 y=x²，得 y=2，∴P（，2），∴OP=

∵PA丄x軸，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．

②設 Q（n，n²），∵tan∠QOB=tan∠POM，

∴．∴n=

∴Q（，），∴OQ=．

當OQ=OC時，則C₁（0，），C₂（0，）；

當OQ=CQ時，則C₃（0，1）．

綜上所述，所求點C坐標為：C₁（0，），C₂（0，），C₃（0，1）．

（2）①∵P（m，m²），設 Q（n，n²），∵△APO∽△BOQ，∴

∴，得n=，∴Q（，）．

②設直線PO的解析式為：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（，）代入，得：

解得b=1，∴M（0，1）

∵，∠QBO=∠MOA=90°，

∴△QBO∽△MOA

∴∠MAO=∠QOB，

∴QO∥MA

同理可證：EM∥OD

又∵∠EOD=90°，

∴四邊形ODME是矩形．

點評：

考查了二次函數綜合題，該題涉及的知識點較多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知識點；（1）②題中，要注意分類進行討論，以免出現漏解、錯解的情況．[來源:Z*xx*k.Com]