Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標軸于A、B兩點，交雙曲線y=于點D，過D作兩坐標軸的垂線DC、DE，連接OD．

（1）求證：AD平分∠CDE；
（2）對任意的實數b（b≠0），求證AD·BD為定值；
（3）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由y=x＋b得A（b，0），B（0，－b），即可得到∠DAC=∠OAB="45" º，再結合DC⊥x軸，DE⊥y軸可證得∠ACD=∠CDE=90º，從而可以證得結論；（2）由（1）知△ACD和△BDE均為等腰直角三角形，即可證得AD=CD，BD=DE，則可得AD·BD=2CD·DE=2×2=4為定值；（3）y=x－1

試題分析：（1）由y=x＋b得A（b，0），B（0，－b），即可得到∠DAC=∠OAB="45" º，再結合DC⊥x軸，DE⊥y軸可證得∠ACD=∠CDE=90º，從而可以證得結論；
（2）由（1）知△ACD和△BDE均為等腰直角三角形，即可證得AD=CD，BD=DE，則可得AD·BD=2CD·DE=2×2=4為定值；
（3）若OBCD為平行四邊形，則AO=AC，OB=CD，由（1）知AO=BO，AC=CD，設OB="a" (a＞0)，則可得B（0，－a），D（2a，a），由D在y=上即可求得a的值，從而可以求得結果.
解：（1）由y=x＋b得A（b，0），B（0，－b）. 
∴∠DAC=∠OAB="45" º
∵DC⊥x軸，DE⊥y軸  
∴∠ACD=∠CDE=90º
∴∠ADC=45º ，即AD平分∠CDE；
（2）由（1）知△ACD和△BDE均為等腰直角三角形.
∴AD=CD，BD=DE
∴AD·BD=2CD·DE=2×2=4為定值；
（3）存在直線AB，使得OBCD為平行四邊形.
若OBCD為平行四邊形，則AO=AC，OB=CD.
由（1）知AO=BO，AC=CD
設OB="a" (a＞0)，
∴B（0，－a），D（2a，a）
∵D在y=上，
∴2a·a=2，解得a=±1(負數舍去) 
∴B（0，－1），D（2，1）.
又B在y=x＋b上，
∴b=－1
即存在直線AB：y=x－1，使得四邊形OBCD為平行四邊形.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.