Question

如圖，以平行四邊形ABCD的一邊AB為直徑的⊙O交BC、BD于Q、P點，AQ交BD于E點，若BP=PD．
（1）求證：平行四邊形ABCD為菱形；
（2）若AE=4，EQ=2，求梯形AQCD的面積．

Answer 1

分析：（1）連接AP，因為AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，得到AP垂直BD，又因題中已知BP=DP，可得AP為BD的垂直平分線，根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AB=AD，又四邊形ABCD為平行四邊形，根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；
（2）根據菱形的性質可得AB=BC及AD平行BC，利用平行可得兩對內錯角的相等，根據兩對對應角相等的兩三角形相似可得△ADE∽△QBE，利用相似三角形的對應邊成比例可得BQ與AD 的比為2：1，又AD=BC，等量代換可得點Q為BC的中點，再根據直徑所對的圓周角為直角得到AQ垂直BC，從而得到AQ為BC的垂直平分線，根據垂直平分線的性質可得AB=AC，又AB=BC，得到三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的三線合一可得∠CAQ=30°，利用在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到AC=2CQ，設CQ=x，則AC=2x，又AQ=6，根據勾股定理列出關于x的方程，解出x的值即可求出CQ與AC的長，根據AC=BC=AD，進而得到AD的長，最后根據梯形的面積公式即可求出結果．

解答：（1）證明：連接AP，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
即AP⊥BP，
又∵BP=PD，
∴AP是BD的垂直平分線，
∴AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）解：連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠QBE，∠EAD=∠EQB，
∴△ADE∽△QBE
∴

AD

BQ

=

AE

EQ

=

2

1

，
又AD=BC，
∴

BQ

BC

=

1

2

，即Q為BC中點，
又∵AB為直徑，
∴AQ⊥BC，而BQ=CQ，
∴AQ是BC的垂直平分線，
∴AC=AB，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC為正三角形，
∴∠CAQ=30°，
設CQ=x，則AC=2x，又AQ=AE+EQ=6，
根據勾股定理得：（2x）²=x²+36，
解得：x=2

3

，
∴CQ=2

3

，
∴AC=BC=AD=4

3

，
則梯形AQCD的面積為

1

2

（4

3

+2

3

）×6=18

3

．

點評：此題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，以及菱形的判定與性質等，第一問是利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形來證明的，第二項判斷出所求面積的四邊形為梯形，然后圍繞梯形面積的公式中的上底，下底及高逐一求出，進而求出梯形的面積，本題的綜合性比較強，要求學生掌握知識要全面，運用知識要靈活．