Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3在坐標系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A，B，P是其對稱軸x=1上的動點，根據圖中提供的信息，給出以下結論：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一個根，③△PAB周長的最小值是+3．其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. 僅有①② C. 僅有①③ D. 僅有②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據對稱軸方程求得a、b的數量關系；

②根據拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標是3；

③利用兩點間直線最短來求△PAB周長的最小值．

①根據圖象知，對稱軸是直線x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0，故①正確；

②根據圖象知，點A的坐標是（-1，0），對稱軸是x=1，則根據拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一個根，故②正確；

③如圖所示，點A關于x=1對稱的點是A′，即拋物線與x軸的另一個交點，

連接BA′與直線x=1的交點即為點P，則△PAB周長的最小值是（BA′+AB）的長度，

∵B（0，3），A′（3，0），

∴BA′=3．即△PAB周長的最小值是3+，

故③正確．

綜上所述，正確的結論是：①②③．

故選：A．