Question

如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上任一點，BG⊥CE，垂足為點O，交AC于點F，交AD于點G．
（1）證明：BE=AG；
（2）當點E是AB邊中點時，試比較∠AEF和∠CEB的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據正方形的性質利用ASA判定△GAB≌△EBC，根據全等三角形的對應邊相等可得到AG=BE；利用SAS判定△GAF≌△EAF，從而得到∠AGF=∠AEF，由△GAB≌△EBC可得到∠AGF=∠CEB；所以∠AEF=∠CEB．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵BG⊥CE∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，
在△GAB和△EBC中，
∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，
∴△GAB≌△EBC，（ASA）
∴BE=AG．

（2）解：當點E位于線段AB中點時，∠AEF=∠CEB．
理由如下：當點E位于線段AB中點時，AE=BE，
由（1）知，∵AG=BE，
∴AG=AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
又∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，（SAS）
∴∠AGF=∠AEF，
由（1）知，△GAB≌△EBC，
∴∠AGF=∠CEB，
∴∠AEF=∠CEB．
點評：此題主要考查學生對正方形的性質及全等三角形的判定的掌握情況．