Question

如圖，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC為⊙O的直徑，AC與⊙O交于點D，點E為AB的中點，PF⊥BC交BC于點G，交AC于點F．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）如果CF=1，CP=2，sinA=，求⊙O的直徑BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證OD⊥DE即可．
易證∠ADB=90°，又點E為AB的中點，得DE=EB．根據等腰三角形性質可證∠ODE=∠OBE=90°，得證；
（2）可證∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．結合已知條件，證明△PDC與△FPC相似可求CD，得解．
解答：（1）證明：連接OD．                                 （1分）
∵BC為直徑，∴△BDC為直角三角形．
在Rt△ADB中，
E為AB中點，∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB．                                   （2分）
又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．
∴ED是⊙O的切線．                                  （5分）

（2）解：∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°-∠BCP（直角三角形的兩個銳角互余）．
∵∠PDC=90°-∠PDB（直徑所對的圓周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所對的圓周角相等），
∴∠FPC=∠PDC（等量代換）．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．                                   （7分）
∴PC²=CF•CD（相似三角形的對應邊成比例）．
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4．                                           （8分）
可知sin∠DBC=sinA=，
∴=，即=，
∴直徑BC=5．                                      （10分）
點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定和性質、三角函數等知識點，綜合性較強，難度偏上．