Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=4

3

，D是線段BC的中點(diǎn)．
（1）試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）要求D與⊙O的位置關(guān)系，需先求OD的長，再與其半徑相比較；若大于半徑則在圓外，等于半徑在圓上，小于半徑則在圓內(nèi)；
（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可．

解答：（1）解：點(diǎn)D在⊙O上；理由如下：
設(shè)⊙O與BC交于點(diǎn)M，連接AM，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
在直角△ABM中，BM=AB•cos∠ABC=4×

3

2

=2

3

，
∵BC=4

3

，
∴M是BC的中點(diǎn)，則M與D重合．
∴點(diǎn)D在⊙O上；

（2）證明：
連接OD，
∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴DO是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切線．

點(diǎn)評：此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及切線的判定．解題時(shí)要注意連接過切點(diǎn)的半徑是圓中的常見輔助線．