Question

如圖，某船以每小時36海里的速度向正東方向航行，在點A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時后到達點B測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內有暗礁．
（1）說明點B是否在暗礁區域內；
（2）若繼續向東航行有無觸礁的危險？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求點B是否在暗礁區域內，其實就是求CB的距離是否大于16，如果大于則不在暗礁區域內，反之則在．可通過構造直角三角形來求CB的長，作CD⊥AB于D點，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角邊，可先求出CD的長，再求出CB的長；
（2）本題實際上是問，C到AB的距離即CD是否大于16，如果大于則無觸礁危險，反之則有，CD的值，（1）已經求出，只要進行比較即可．

解答：解：（1）作CD⊥AB于D點，
設BC為x，
在Rt△BCD中∠CBD=60°，
∴BD=

1

2

x．
CD=

3

2

x．
在Rt△ACD中∠CAD=30°tan∠CAD=

CD

AD

=

3

3

，
∴

3 2 x

18+ 1 2 x

=

3

3

．
∴x=18．
∴B點不在暗礁區域內；

（2）∵CD=

3

2

x=9

3

，
∵9

3

＜16，
∴若繼續向東航行船有觸礁的危險．

點評：本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中，使問題解決．