Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC有公共點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F ，BD=BF．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若∠F=60°，BF=8，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CF=2．

【解析】

（1）連接連接BE，OE，根據直徑所對的角為直角結合等腰三角形三線合一的性質可證得DE=EF，根據三角形中位線定理可推出OE∥BC，得出OE⊥AC，即可證明結論；
（2）利用三角形中位線定理可求得半徑OE的長，利用含30度角的直角三角形的性質可求得OA進而求得AB，即可求得BC的長，從而得解．

（1）連接BE，OE，

∵BD是直徑，

∴∠DEB=90°，

∴BE⊥DF，

∵BD=BF，

∴DE=EF，

又∵DO=OB，

∴OE∥BF，

∵∠ACB=90°，

∴∠OEA=∠ACB =90°，

∴OE⊥AC，

∴AC是圓O的切線；

（2）∵BD=BF，∠F=60°，

∴△DBF為等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠A=∠ACB-∠ABC =90°-60°=30°，

∵DE=EF，DO=OB，

∴OE=，

在中，∠OEA =90°，∠A=30°，

∴AO=2OE=8，

∴AB= AO +OB= AO +OE= 8 +4=12，

在中，∠ACB =90°，∠A=30°，

∴BC==6，

∴CF=BF-BC=2．