Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E為BC上一動點（不與B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延長線交于點G，設BE=x，△DEF的面積為S．
（1）求證：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函數表達式，并寫出x的取值范圍；
（3）當E運動到何處時，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為∠B=∠GCE，∠BEF=∠GEC，所以△BEF∽△CEG；
（2）在平行四邊形ABCD中，因為∠BAD=120°所以∠B=60°=∠ECG，又BE=x，EC=3-x，所以EF、CG可利用三角函數求出，即在△EFG中，邊和邊上的高就為已知，從而求出解析式；
（3）在（2）的基礎上，尋求函數的最大值．
解答：（1）證明：∵AB∥GD，
∴∠B=∠GCE，
又∵∠BEF=∠GEC，
∴△BEF∽△CEG．

（2）解：由（1）DG為△DEF中EF邊上的高，
在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=x，（4分）
在Rt△CEG中，CE=3-x，CG=（3-x）cos60°=，
∴DG=DC+CG=，（5分）
∴S=EF•DG=-x²+x，（6分）
其中0＜x≤3．（7分）

（3）解：∵a=-，對稱軸x=，
∴當0＜x≤3時，S隨x的增大而增大，
∴當x=3，即E與C重合時，S有最大值．（9分）
S_最大=3．（10分）
點評：此題考查內容較為豐富，既有平行四邊形又有三角函數，難易程度適中．