Question

如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP于點D，△ADC的外接圓與BC的另一個交點為E．證明：∠BAE=∠ACB．

Answer 1

【答案】分析：首先里射影定理得出PA²=PD•PO，AD²=PD•OD，進而得出PB•PC=PD•PO，即D、B、C、O四點共圓，再利用△PBD∽△COD得出BD•CD=PD•OD=AD²，由△BDA∽△ADC得出AB是△ADC的外接圓的切線，即可得出∠BAE=∠ACB．
解答：證明：連接OA，OB，OC，BD．
∵OA⊥AP，AD⊥OP，
∴由射影定理可得：PA²=PD•PO，AD²=PD•OD．…（5分）
又由切割線定理可得 PA²=P B•P C，
∴P B•P C=PD•PO，
∴D、B、C、O四點共圓，…（10分）
∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，
∴△PBD∽△COD，
∴，…（15分）
∴BD•CD=PD•OD=AD²，
∴．
又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC，
∴△BDA∽△ADC，…（20分）
∴∠BAD=∠ACD，
∴AB是△ADC的外接圓的切線，
∴∠BAE=∠ACB．…（25分）
點評：此題主要考查了四點共圓以及相似三角形的性質與判定和射影定理得出等知識，根據已知得出D、B、C、O四點共圓以及AB是△ADC的外接圓的切線是解題關鍵．