Question

（2006•仙桃）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等邊三角形DEF從初始位置（點E與點B重合，EF落在BC上，如圖1所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個單位的速度平移，DE、DF分別與AB相交于點M、N．當點F運動到點C時，△DEF終止運動，此時點D恰好落在AB上，設△DEF平移的時間為x．
（1）求△DEF的邊長；
（2）求M點、N點在BA上的移動速度；
（3）在△DEF開始運動的同時，如果點P以每秒2個單位的速度從D點出發沿DE?EF運動，最終運動到F點．若設△PMN的面積為y，求y與x的函數關系式，寫出它的定義域；并說明當P點在何處時，△PMN的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：當F與C點重合時D正好在AB上，此時三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根據∠B的正弦值及BC的長求出等邊三角形的邊長；
（2）可設△DEF從初始位置移動x秒后得到△D₁E₁F₁，那么在x秒內M點移動的距離就是BM的長，由于∠D₁MN=∠BME₁=∠ABC=30°，因此△BE₁M是個等腰三角形，過E₁作E₁G⊥BM，那么BG=GM=BM，可在直角三角形BE₁G中，根據BE₁的長求出E₁G（BE₁的長就是△BDF平移的距離），由此可得出BM的長除以用的時間即可得出M點的速度．求N點的速度解法類似，過F作FH⊥D₁F₁，設垂足為H，那么FH就是N點移動的距離，同樣可在直角三角形FHF₁中求出FH的長，進而可得出其速度；
（3）本題要先找出幾個關鍵點：當P與M重合時，那么根據P的速度可表示出DM的長，而ME=BE為三角形平移的距離，據此可求出t=1．當P到達E點時，DP=DE，可求得此時t=．
①當P在DM之間時，即0≤x≤1，MN的長可在直角三角形DMN中，根據DM和∠DMN的余弦值求出，過P作PP₁⊥MN于P₁，那么PP₁就是MN邊上的高，可在直角三角形MPP₁中根據MP的長和∠PMP₁的正弦值求出（MP可根據DE-DP-ME來得出）．據此可得出關于S，x函數關系式．
②當P在EM之間時，即1＜x≤，可過P作PP₂⊥AB與P₂，那么PP₂的長可在直角三角形PP₂M中，根據PM的長和∠BME的正弦值求出，進而可根據三角形的面積公式求出S、x的函數關系式．
③當P在EF上運動時，即≤x≤3，解法同上．
根據上述三種情況得出的函數的性質及各自的自變量的取值范圍，可求得S的最大值及對應的x的值．
解答：解：（1）當F點與C點重合時，如圖1所示：
∵△DEF為等邊三角形，
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°
∴FD=BC=3；

（2）過E點作EG⊥AB，
∵∠DEF=60°，∠B=30°，
∴∠BME=30°，
∴EB=EM
在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x，
∴BM=2BG=x，
∴M點在BA上的移動速度為=，
F點作FH⊥F₁D₁，在Rt△FF₁H中，FH=x×cos30°=x，
點N在BA上的移動速度為=；

（3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°==（3-x），
當P點運動到M點時，有2x+x=3，
∴x=1
①當P點在DM之間運動時，過P點作PP₁⊥AB，垂足為P₁
在Rt△PMP₁中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴PP₁=（3-3x）=（1-x），
∴y與x的函數關系式為：y=×（3-x）×（1-x）=（x²-4x+3）（0≤x≤1），
②當P點在ME之間運動時，過P點作PP₂⊥AB，垂足為P₂，
在Rt△PMP₂中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴PP₂=（1-x），
∴y與x的函數關系式為：y=×（3-x）×（1-x），
=-（x²-4x+3）（1＜x≤）．
③當P點在EF之間運動時，過P點作PP₃⊥AB，垂足為P₃，
在Rt△PMP₃中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴PP₃=（x-1），
∴y與x的函數關系式為：y=×（3-x）×（x-1），
=-（x²-4x+3）（≤x≤3），
∴y=-（x-2）²+，
∴當x=2時，y_最大=，
而當P點在D點時，y=×3××=，
∵＞，
∴當P點在D點時，△PMN的面積最大．
點評：本題為動態形問題，考查了等邊三角形和直角三角形的性質、二次函數的應用等知識．
綜合性強，考查學生分類討論、數形結合的數學思想方法．