Question

如圖，在△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求證：以△ABC三條中線為邊構(gòu)成的三角形與△ABC相似．

Answer 1

證明：延長(zhǎng)PD至F，使PD=DF，連接BF，F(xiàn)C，PC，DE，

則四邊形BFCP為平行四邊形，
∵∠BPD=∠C，∴△BPD∽△BCE，
∴=，
∴△BPC∽△BDE，
∴∠PCB=∠DEB，∠1=∠2，
∴∠PCF=∠ABC，
而∠PFC=∠BPD=∠ACB，
∴△PCF∽△ABC，
而△PCF各邊長(zhǎng)為△ABC中線長(zhǎng)的，
故△PCF與以△ABC三條中線為邊所構(gòu)成的三角形相似．
分析：由于點(diǎn)P為BC、AC兩邊中線的交點(diǎn)，可延長(zhǎng)PD至F，使PD=DF，得四邊形BFCP為平行四邊形，則平行四邊形的各邊均涉及三角形的中線，進(jìn)而求證由中線圍成的三角形與△ABC相似即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，能夠利用其性質(zhì)求解一些證明、計(jì)算問(wèn)題．