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已知AB為⊙O的直徑,點C為圓外一點,AC交⊙O 于點D,過點D作DE⊥BC于點E,AB=BC=4,∠ABC=120°.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若以點C為圓心畫一個半徑為r的圓,使得這個圓上有且只有兩個點到點O的距離為2,求r的取值范圍.

【答案】分析:(1)連接OD、BD,只要證明OD⊥DE即可.
(2)過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F,連接CO交⊙O于點G.在Rt△CBF中,由BF=2,CF=,根據勾股定理得到OC的長后即可確定r的取值范圍.
解答:證明:(1)連接OD,BD.
∵AB是⊙O的直徑,
∴BD⊥AC,
又∵BA=BC,
∴點D為AC的中點.
∵點O為AB的中點,
∴OD∥BC,
又∵DE⊥BC,
∴DE⊥OD,
∵OD是半徑,
∴DE是⊙O的切線.

(2)解:過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F,連接CO交⊙O于點G,
∵AB=BC=4,∠ABC=120°,
∴∠CBF=60°,
∴∠BCF=30°,
在Rt△CBF中,BF=2,CF=
有勾股定理得:OC=
所以當以<r<時,以點C為圓心的圓有且只有兩個點到點O的距離為2.
點評:本題考查了圓的綜合知識,特別是在判定切線時,往往是連接圓心和切點,利用經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線來判定切線.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,已知AB為⊙O的直徑,PA,PC是⊙O的切線,A,C為切點,∠BAC=30°.
(Ⅰ)求∠P的大小;
(Ⅱ)若AB=2,求PA的長(結果保留根號).

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22、如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,CD⊥AB于D,AD=9,BD=4,以C為圓心,CD為半徑的圓與⊙O相交于P,Q兩點,弦PQ交CD于E,則PE•EQ的值是(  )

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如圖所示,已知AB為⊙O的直徑,C、D是直徑AB同側圓周上兩點,且弧CD=弧BD,過D作DE⊥AC于點E,求證:DE是⊙O的切線.

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(2013•沙市區一模)如圖,已知AB為⊙O的直徑,PA與⊙O相切與點A,線段OP與弦AC垂直并相交于點D,OP與⊙O相交于點E,連接BC.
(1)求證:△PAD∽△ABC;
(2)若PA=10,AD=6,求AB和PE的長.

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已知AB為半圓的直徑,弦AD、BC相交于M,點E在AM上,且∠CEM=∠B,AB=1,則cos∠AMC的值等于線段(  )的長.

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