Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=12

3

，點D是BC中點，點E從點D出發沿DB經每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，點F從點D出發以每秒1個單位長的速度向點C勻速運動．在點E、F的運動過程中，以EF為邊作正方形EFPQ，使它與等腰△ABC的線段BC的同側，點E、F同進出發，當PQ經過點A時，點E再以每秒1個單位長的速度向點C勻速運動．回到點D時停止運動，點F也隨之停止．設點E、F運動的時間是t秒（t＞0）
（1）設EF的長為y，在點E從點D向點B運動的過程中，寫出y與t之間的函數關系式（不必寫t的取值范圍）
（2）t為何值時，PQ經過點A？
（3）當BE=5

3

時，求△ABC與正方形EFPQ重疊部分的面積？
（4）隨著時間t的變化，△ABC與正方形EFPQ重疊部分的周長在某個時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據EF=DE+DF，由路程=速度×時間即可求出y與t之間的函數關系式；
（2）根據等腰三角形的性質，三角函數的知識求解即可；
（3）當BE=5

3

時，正方形EFPQ在△ABC內部，求出EF的長，根據正方形面積公式即可求出；
（4）當Q、P分別在AB、AC上時，△ABC與正方形EFPQ重疊部分的周長會達到最大值．

解答：解：（1）y與t之間的函數關系式：y=2t；

（2）連接AD，設經過ts，
可得AD⊥BC，
BD=

1

2

BC=6

3

，
AD=BD•tan∠B=6，
又知正方形EFPQ，PQ經過點A，
即AD=EF，2t=6，
解得t=3s，

（3）EF=BC-2BE=12

3

-2×5

3

=2

3

，
△ABC與正方形EFPQ重疊部分的面積為：2

3

×2

3

=12；

（4）當t=3，既PQ經過點A時，△ABC與正方形EFPQ重疊部分的周長達到最大值w，設此時QE交AB于M，PF交AC與N，由（1）知AD=EF=6，
∴AQ=ED=3，
∴在Rt△AQM中，QM=

3

，AM=2

3

，又ME=6-

3

，
∴w=2（AM+ME+ED）=2

3

+18
∵該最大值能持續到點E回到點D，
∴3≤t≤6時，△ABC與正方形EFPQ重疊部分的周長達到最大值2

3

+18．

點評：本題考查了等腰三角形的性質，三角函數，正方形的性質和相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度較大．