Question

【題目】若矩形的一個短邊與長邊的比值為，（黃金分割數），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形

（1）操作：請你在如圖所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD．

（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是，請說明理由．

（3）歸納：通過上述操作及探究，請概括出具體有一般性的結論（不需證明）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）矩形EBCF不是黃金矩形，理由見解析；（3）若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.

【解析】

（1）如圖，分兩種情況：正方形中，AD的對邊在矩形的內部或外部；

（2）矩形EBCF不是黃金矩形， 設AB=a，AD=b（a＞b），則BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得=，所以==÷（1+）=÷（1+）=≠，對應邊不成比例，故矩形EBCF不是黃金矩形；矩形E′BCF′是黃金矩形，

理由：==（1-）÷=（1-）÷=，即對應邊成比例，故兩個矩形相似.

（3）由（1）、（2）可發現結論：若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.

解：（1）以AD為邊可作出兩個正方形AEFD與AE′F′D′（AB＞AD），如圖所示

（2）矩形EBCF不是黃金矩形，理由如下：

設AB=a，AD=b（a＞b），則BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，

由ABCD為黃金矩形，得=

∴==÷（1+）=÷（1+）=≠

∴矩形EBCF不是黃金矩形;

矩形E′BCF′是黃金矩形.

證明：如圖，∵==（1-）÷=（1-）÷=

∴E′BCF′是黃金矩形

（3）由（1）、（2）可發現結論：若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.