Question

（2012•佳木斯）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，點E、F分別是AB、BC邊的中點，連接AF、CE交于點M，連接BM并延長交CD于點N，連接DE交AF于點P，則結論：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=

5

：3；⑤S_△EPM=

1

8

S_梯形ABCD，正確的個數有（　　）

A．5個

B．4個

C．3個

D．2個

Answer 1

分析：連接DF，AC，EF，如圖所示，由E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，得到EB=FB，再由一對公共角相等，利用SAS可得出△ABF與△CBE全等，由確定三角形的對應角相等得到一對角相等，再由AE=FC，對頂角相等，利用AAS可得出△AME與△CMF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM與△BFM全等，根據全等三角形的對應角相等可得出∠ABN=∠CBN，選項①正確；由AD=AE，梯形為直角梯形，得到∠EAD為直角，可得出△AED為等腰直角三角形，可得出∠AED為45°，由∠ABC為直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN為45°，根據同位角相等可得出DE平行于BN，選項②正確；由AD=AE=

1

2

AB=

1

2

BC，且CF=

1

2

BC，得到AD=FC，又AD與FC平行，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ADCF為平行四邊形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代換可得出DC=EC，即△DCE為等腰三角形，選項③正確；由EF為△ABC的中位線，利用三角形中位線定理得到EF平行于AC，由兩直線平行得到兩對內錯角相等，根據兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△EFM與△ACM相似，且相似比為1：2，可得出EM：MC=1：2，設EM=x，則有MC=2x，用EM+MC表示出EC，設EB=y，根據BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，兩者相等得到x與y的比值，即為EM與BE的比值，即可判斷選項④正確與否；由E為AB的中點，利用等底同高得到△AME的面積與△BME的面積相等，由△BME與△BFM全等，得到面積相等，可得出三個三角形的面積相等都為△ABF面積的

1

3

，由E為AB的中點，且EP平行于BM，得到P為AM的中點，可得出△AEP的面積等于△PEM的面積，得到△PEM的面積為△ABF面積的

1

6

，由ABFD為矩形得到△ABF與△ADF全等，面積相等，由△ADF與△CFD全等得到面積相等，可得出三個三角形面積相等都為梯形面積的

1

3

，綜上得到△PEM的面積為梯形面積的

1

18

，可得出選項⑤錯誤，綜上，得到正確的個數．

解答：解：連接DF，AC，EF，如圖所示：
∵E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC，
在△ABF和△CBE中，

AB=CB ∠ABF=∠CBE BF=BE

，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，
在△AME和△CMF中，

∠BAF=∠BCE ∠AME=∠CMF AE=CF

，
∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM=FM，
在△BEM和△BFM中，

BE=BF BM=BM EM=FM

，
∴△BEM≌△BFM（SSS），
∴∠ABN=∠CBN，選項①正確；
∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴△AED為等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=∠CBN=45°，
∴∠AED=∠ABN=45°，
∴ED∥BN，選項②正確；
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，
∴AD=FC，又AD∥FC，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，
∴AF=DC，又AF=CE，
∴DC=EC，
則△CED為等腰三角形，選項③正確；
∵EF為△ABC的中位線，
∴EF∥AC，且EF=

1

2

AC，
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，
∴△EFM∽△CAM，
∴EM：MC=EF：AC=1：2，
設EM=x，則有MC=2x，EC=EM+MC=3x，
設EB=y，則有BC=2y，
在Rt△EBC中，根據勾股定理得：EC=

EB2+BC2

=

5

y，
∴3x=

5

y，即x：y=

5

：3，
∴EM：BE=

5

：3，選項④正確；
∵E為AB的中點，EP∥BM，
∴P為AM的中點，
∴S_△AEP=S_△EPM=

1

2

S_△AEM，
又S_△AEM=S_△BEM，且S_△BEM=S_△BFM，
∴S_△AEM=S_△BEM=S_△BFM=

1

3

S_△ABF，
∵四邊形ABFD為矩形，
∴S_△ABF=S_△ADF，又S_△ADF=S_△DFC，
∴S_△ABF=S_△ADF=S_△DFC=

1

3

S_梯形ABCD，
∴S_△EPM=

1

18

S_梯形ABCD，選項⑤錯誤．
則正確的個數有4個．
故選B

點評：此題考查了直角梯形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，以及三角形的中位線定理，熟練掌握性質與定理是解本題的關鍵．