Question

2．已知菱形ABCD對角線AC=8，BD=4，以AC、BD所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，雙曲線y=$\frac{k}{x}$恰好經過DC的中點，過直線BC上的點P作直線l⊥x軸，交雙曲線于點Q．
（1）求k的值及直線BC的函數解析式；
（2）雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線BC交于M、N兩點，試求線段MN的長；
（3）是否存在點P，使以點B、P、Q、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據菱形的性質得到OB=OD=2，OA=OC=4，于是得到B（0，-2），C（4，0），D（0，2），求得DC的中點（2，1），于是求得k=2，由待定系數法即可求出直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2；
（2）列方程得到x=2$±2\sqrt{2}$，于是得到N（2+2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1），M（2-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1），如圖1，分別過N，沒做x軸，y軸的垂線交于點E，根據勾股定理即可得到結論；
（3）由直線l⊥x軸，得到l∥y軸，推出PQ∥BD，當PQ=BD=4時，以點B、P、Q、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，設P（m，$\frac{1}{2}$m-2），Q（M，$\frac{2}{m}$），列方程即可得到結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD=2，OA=OC=4，
∴B（0，-2），C（4，0），D（0，2），
∴DC的中點（2，1），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$恰好經過DC的中點，
∴k=2，
設直線BC的解析式為：y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a+b}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-2；

（2）令$\frac{2}{x}$=$\frac{1}{2}$x-2，解得：x=2$±2\sqrt{2}$，
當x=2+2$\sqrt{2}$時，y=$\sqrt{2}$-1，
當x=2-2$\sqrt{2}$時，y=-$\sqrt{2}$-1，
∴N（2+2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1），M（2-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$-1），
如圖1，分別過N，M作x軸，y軸的垂線交于點E，
∴ME=4$\sqrt{2}$，NE=2$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{M{E}^{2}+N{E}^{2}}$=2$\sqrt{10}$；

（3）∵直線l⊥x軸，
∴l∥y軸，
∴PQ∥BD，
當PQ=BD=4時，以點B、P、Q、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，
設P（m，$\frac{1}{2}$m-2），Q（M，$\frac{2}{m}$），
①當Q在點P的上方時，PQ=$\frac{2}{m}$-（$\frac{1}{2}$m-2）=4，
解得m=±2$\sqrt{2}$-2，
∴P₁（2$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$-3），P₂（-2$\sqrt{2}$-2，-$\sqrt{2}$-3）；
②當Q在P的下面時，PQ=（$\frac{1}{2}$M-2）-$\frac{2}{m}$=4，
解得m=±2$\sqrt{10}$+2，
∴P₃（2$\sqrt{10}$+6，$\sqrt{10}$+1），P₄（-2$\sqrt{10}$+6，-$\sqrt{10}$+1），
綜上所述：以點B、P、Q、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，P₁（2$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$-3），P₂（-2$\sqrt{2}$-2，-$\sqrt{2}$-3），P₃（2$\sqrt{10}$+6，$\sqrt{10}$+1），P₄（-2$\sqrt{10}$+6，-$\sqrt{10}$+1），

點評 本題考查了菱形的性質，待定系數法求函數的解析式，勾股定理，平行四邊形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．