Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BB₁∥AC．動點D從點A出發沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C出發沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF⊥AC交射線BB₁于F，G是EF中點，連接DG．設點D運動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；
（2）當△DEG與△ACB相似時，求t的值；
（3）以DH所在直線為對稱軸，線段AC經軸對稱變換后的圖形為A′C′．
①當t＞

3

5

時，連接C′C，設四邊形ACC′A′的面積為S，求S關于t的函數關系式；
②當線段A′C′與射線BB′，有公共點時，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長，即可得到AD、t的值，從而確定AE的長，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG與△ACB相似，要分兩種情況：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根據這些比例線段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表達式時，要分AD＞AE和AD＜AE兩種情況）
（3）①根據軸對稱的性質知：DH分別垂直平分AA′、CC′，則AA′∥CC′，顯然AA′≠CC′，因此四邊形ACC′A′是梯形；首先用t表示出AD，易證得△ACB∽△AHD，根據得到的比例線段可求得AH、DH的表達式，在Rt△COD中，通過解直角三角形，可求得OD、OC的長，進而可求得梯形的高OH的值，而梯形的上下底分別是AH、OC的2倍，可根據梯形的面積公式求得S、t的函數關系式；
②此題只需考慮兩種情況即可：
一、A′落在BB′上時，此時A′、B重合，AA′=AB=5，根據①所得AA′的表達式即可求得t的值；
二、C′落在BB′上時，在①已證得AB∥CC′，那么四邊形ACC′B為平行四邊形，即AB=CC′，根據①所得CC′的表達式即可求得t的值；
綜合上面兩種情況所得的t值，即可求得t的取值范圍．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴當AD=AB時，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點，
∴GE=2．
當AD＜AE（即t＜

3

2

）時，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

3-2t

2

=

3

4

或

3-2t

2

=

4

3

，
∴t=

3

4

或t=

1

6

；
當AD＞AE（即t＞

3

2

）時，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

，
∴

2t-3

2

=

3

4

或

2t-3

2

=

4

3

，
解得t=

9

4

或t=

17

6

；
綜上所述，當t=

3

4

或

1

6

或

9

4

或

17

6

時，△DEG與△ACB相似．

（3）①由軸對稱的性質變換得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，則AA′∥CC′；
易知OC≠AH，故AA′≠CC′，
∴四邊形ACC′A′是梯形；
∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴

AH

AC

=

DH

BC

=

AD

AB

，
∴AH=3t，DH=4t．
∵sin∠ADH=sin∠CDO，
∴

AH

AD

=

CO

CD

，即

3

5

=

CO

5t-3

，
∴CO=3t-

9

5

．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t-

18

5

．
∵OD=CD•cos∠CDO=（5t-3）×

4

5

=4t-

12

5

，
∴OH=DH-OD=

12

5

．
∴S=

1

2

（AA′+CC′）•OH=

1

2

（6t+6t-

18

5

）×

12

5

=

72

5

t-

108

25

；
②

5

6

≤t≤

43

30

；
當A′落在射線BB′上時（如圖甲），AA′=AB=5，
∴6t=5，∴t=

5

6

；
當點C′落在射線BB′上時（如圖乙），易CC′∥AB；
故四邊形ACC′B為平行四邊形，

∴CC′=AB=5，
∴6t-

18

5

=5，t=

43

30

．
故

5

6

≤t≤

43

30

．

點評：此題考查了勾股定理、軸對稱的性質、平行四邊形及梯形的判定和性質、解直角三角形、相似三角形等相關知識，綜合性強，是一道難度較大的壓軸題．