Question

（2013•樂亭縣一模）已知，在△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC于點M．
（1）如圖1，當點E在線段AC上時，點D在AB的延長線上時，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數量關系，并證明你的結論．
（2）如圖2，當點E在CA的延長線上，點D在AB的延長線上時，若BD=CE，則（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．
（3）如圖3，當點E在CA的延長線上，點D在線段AB上（點D不與A、B重合），DE所在直線與直線BC交于點M，若CE=mBD，（m＞1），請直接寫出線段MD與線段ME的數量關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）DM=EM；過點E作EF∥AB交BC于點F，然后利用平行線的性質和已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質即可證明題目的結論；
（2）成立；過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，然后利用平行線的性質與已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質即可證明題目的結論；
（3）．過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，然后利用平行線的性質和已知條件得到△DBM∽△EFM，接著利用相似三角形的性質即可得到結論；
解答：（1）DM=EM；（1分）
證明：過點E作EF∥AB交BC于點F，（2分）
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．（4分）

（2）成立；（5分）
證明：過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，（6分）
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；（8分）
（3）過點E作EF∥AB交CB的延長線于點F，
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：m，
∴．（10分）
點評：此題主要考查了全等三角形的性質與判定，也利用了等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質，有一定的綜合性，對于學生的能力要求比較高，平時加強訓練．