Question

如圖，E點為x軸正半軸上一點，⊙E交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，P點為劣弧上一個動點，且A（-1，0），E（1，0）．
（1）如圖1，求點C的坐標；

（2）如圖2，連接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q點，當P點在運動時，線段AQ的長度是否發生變化；若不變求出其值，若發生變化，求出變化的范圍；

（3）如圖3，連接PD，當P點在運動時（不與B、C兩點重合），給出下列兩個結論：①的值不變，②的值不變，其中有且只有一個是正確的，請你判斷哪一個是正確的，并求其值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EC，則EC=EA=2，然后利用勾股定理就可求出OC的長，從而求出點C的坐標；
（2）不發生變化，連接CB，利用等弧所對的圓周角相等可證明AQ=AC，AC是一個固定值，所以不發生變化．再利用勾股定理就可求出AC的長即是AQ的長；
（3）要想知道哪個結論正確就要都證明一下，通過證明可知1正確．證明的時候利用三角形的全等來證明．
解答：解：（1）連接EC，則EC=EA=2，
∵OE=1，
∴OC=，

故點C的坐標為（0，）；

（2）不發生變化．
連接CB，則∠CPA=∠CBA=∠ACO，

∵∠ACQ=∠ACO+∠OCQ，∠AQC=∠CPA+∠PCQ，
∵CQ平分∠PCD，則∠PCQ=∠OCQ，
則∠ACQ=∠AQC，得AQ=AC=2；

（3）結論①不變，在PD的延長線上截取DM=PC，則PC+PD=PM，
連接AM，可證△PAC≌△MAD，得MA=PA，∠MAP=∠DAC=120°，
則△PAM是以30°為底角的等腰三角形，
∴==．

點評：本題綜合考查了圓的有知識，以及全等三角形的判定．所以學生學習時一定要會把所學的知識靈活的運用起來．