Question

如圖，直線MN不與正方形的邊相交且經(jīng)過正方形ABCD的頂點D，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R．
（1）求證：△ADM≌△DCN：
（2）求證：MN=AM+CN；
（3）試猜想BR與MN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：此題分三問進行，三問都與三角形全等直接相關(guān)，所以要緊扣三角形全等的判定方法進行思考．
（1）要證△ADM≌△DCN，由于它們都是直角三角形，所以首先有直角相等，又由ABCD是正方形有AD=DC，再找一個條件即可，而由圖形很容易分析得出∠ADM=∠DCN；
（2）的關(guān)鍵是合理添加輔助線，通過等量代換等到結(jié)論；
（3）首先結(jié)合前面的結(jié)論再結(jié)合圖形合理猜想，然后再結(jié)合前面的結(jié)論認真推理，細致證明即可．
解答：（1）證明：∵AM⊥MN于點M，CN⊥MN于點N（已知），
∴∠AMD=∠DNC=90°（垂直的定義）．
∴∠MAD+∠MDA=180°-90°=90°（三角形內(nèi)角和定理）．
∵四邊形ABCD是正方形（已知），
∴∠ADC=90°，AD=DC．
∴∠MDA+∠NDC=180°-90°=90°（平角的定義）．
∴∠MAD+∠MDA=∠NDC+∠NCD．
∴∠MAD=∠NDC．
在△AMB和△DNC中，
∵∠AMD=∠DNC，∠MAD=∠NDC，AD=DC，
∴△AMD≌△DNC（AAS）．

（2）證明：由（1）△AMD≌△DNC，
∴AM=DN，MD=NC．（全等三角形對應(yīng)邊相等）
∴MD+DN=AM+CN．
即MN=AM+CN．

（3）猜想BR=MN．
證明如下：
作AE⊥BR于E．
∵BR⊥MN，CN⊥MN（已知）
∴BR∥CN（垂直于同一直線的兩條直線平行）
∴∠1=∠2（兩直線平行同位角相等）
又四邊形ABCD是正方形
∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABE=∠DCN=90°-∠1，
在△ABE和△DCN中，AB=DC，∠ABE=∠DCN，∠AEB=∠DNC=90°
∴△ABE≌△DCN（AAS）
由（1）△ADM≌△DCN
∴△ABE≌△ADM
∴AM=AE（全等三角形對應(yīng)邊相等）．
又AE∥MR，AM∥ER，
∴BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN．
點評：此題三問緊密相連，第一問正確解出后，后兩問就順理成章求出來了．