Question

如圖所示，把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H．
（1）線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想；
（2）若旋轉(zhuǎn)角為30°，AB=

5

，求線段HG的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及HL定理得出Rt△AGH≌Rt△ABH即可得出答案；
（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出∠GAH=∠HAB，GH=BH，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出HG的長．

解答：解：（1）HG=HB，
理由：方法1，連結(jié)AH，
∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形
∴∠B=∠G=90°，由題意知AG=AB，
在Rt△AGH和Rt△ABH中

AH=AH AG=AB

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），
∴HG=HB；
方法2：連結(jié)GB，
∵四邊形ABCE，AEFG都是正形，
∴∠ABC=∠AGF=90°
由題意知AB=AG，
∴∠AGB=∠ABG，
∴∠HGB=∠HBG，
∴HG=HB；

（2）∵Rt△AGH≌Rt△ABH，
∴∠GAH=∠HAB，GH=BH，
∵旋轉(zhuǎn)角為30°，AB=

5

，
∴∠GAH=∠HAB=30°，
∴tan30°=

HB

AB

=

GH

AG

，
∴HG=

3

3

×

5

=

15

3

．

點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出Rt△AGH≌Rt△ABH是解題關(guān)鍵．