Question

如圖，直線l₁⊥x軸于點（1，0），直線l₂⊥x軸于點（2，0），直線l₃⊥x軸于點（3，0），…直線l_n⊥x軸于點（n，0）．函數y=x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點A₁，A₂，A₃，…A_n；函數y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點B₁，B₂，B₃，…B_n．如果△OA₁B₁的面積記作S₁，四邊形A₁A₂B₂B₁的面積記作S₂，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積記作S₃，…四邊形A_n-1A_nB_nB_n-1的面積記作S_n，那么S₂₀₁₂=    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出A₁，A₂，A₃，…A_n和點B₁，B₂，B₃，…B_n的坐標，利用三角形的面積公式計算△OA₁B₁的面積；四邊形A₁A₂B₂B₁的面積，四邊形A₂A₃B₃B₂的面積，…四邊形A_n-1A_nB_nB_n-1的面積，則通過兩個三角形的面積差計算，這樣得到S_n=n-，然后把n=2012代入即可求得答案．
解答：解：∵函數y=x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點A₁，A₂，A₃，…A_n，
∴A₁（1，1），A₂（2，2），A₃（3，3）…A_n（n，n），
又∵函數y=2x的圖象與直線l₁，l₂，l₃，…l_n分別交于點B₁，B₂，B₃，…B_n，
∴B₁（1，2），B₂（2，4），B₃（3，6），…B_n（n，2n），
∴S₁=•1•（2-1），
S₂=•2•（4-2）-•1•（2-1），
S₃=•3•（6-3）-•2•（4-2），
…
S_n=•n•（2n-n）-•（n-1）[2（n-1）-（n-1）]=n²-（n-1）²=n-．
當n=2012，S₂₀₁₂=2012-=2011.5．
故答案為：2011.5．
點評：此題考查了一次函數的性質、三角形的面積以及整數的混合運算等知識．此題難度較大，屬于規律性題目，注意數形結合思想的應用，注意得到規律：S_n=n-是解此題的關鍵．