Question

按下面規則擴充新數：已有兩數a、b，可按規則c=ab+a+b擴充一個新數，在a、b、c三個數中任取兩數，按規則又可擴充一個新數，…每擴充一個新數叫做一次操作．現有數1和4．
（1）求按上述規則操作三次得到擴充的最大新數；
（2）能否通過上述規則擴充得到新數1999，并說明理由．

Answer 1

（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因為要求最大新數，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三數取9和49，就得到擴充三次的最大數為499．
（2）因c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，故c+1=（a+1）（b+1），
取數b、c可得新數d=（b+1）（c+1）-1=（b+1）（a+1）（b+1）-1=（a+1）（b+1）²-1，即d+1=（a+1）（b+1）²，
同理可得e=（c+1）（d+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）²-1，e+1=（a+1）²（b+1）³
第四次擴充：49×499+49+499=24999＞1999，
即第三次得到的新數為499，第四次得到的新數為24999，
故1999不可以通過上述規則擴充得到．