Question

按下面規則擴充新數：已有a和b兩個數，可按規則c=ab+a+b擴充一個新數，而a，b，c三個數中任取兩數，按規則又可擴充一個新數，…，每擴充一個新數叫做一次操作．現有數2和3．
①求按上述規則操作三次得到擴充的最大新數；
②能否通過上述規則擴充得到新數5183？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①將2與3分別代入求解，再取其最大的兩個值依次代入即可求得答案；
②找到規律：設擴充后的新數為x，則總可以表示為x+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式中m、n為整數，即可得當a=2，b=3時，x+1=3^m×4ⁿ，然后求解即可．
解答：解：①∵a=2，b=3，
c₁=ab+a+b=6+2+3=11，
∴取3和11，
∴c₂=3×11+3+11=47，
取11與47，
∴c₃=11×47+11+47=575，
∴擴充的最大新數575；

②5183可以擴充得到．
∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，
∴c+1=（a+1）（b+1），
取數a、c可得新數
d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）-1=（a+1）²（b+1），
即d+1=（a+1）²（b+1），
同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，
∴e+1=（b+1）²（a+1），
設擴充后的新數為x，則總可以表示為x+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式中m、n為整數，
當a=2，b=3時，x+1=3^m×4ⁿ，
又∵5183+1=5184=3⁴×4³，
故5183可以通過上述規則擴充得到．
點評：此題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是找到規律設擴充后的新數為x，則總可以表示為x+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式中m、n為整數．