Question

李老師在與同學進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設計了以下三個問題，請你根據下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長．
（1）如圖1，正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處；
（2）如圖2，正四棱柱的底面邊長為5cm，側棱長為6cm，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點A沿著棱柱表面爬到C₁處；
（3）如圖3，圓錐的母線長為4cm，圓錐的側面展開圖如圖4所示，且∠AOA₁=120°，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發，沿圓錐側面爬行一周回到點A．

Answer 1

分析：將各圖展開，根據兩點之間線段最短，利用勾股定理解答．

解答：解：

（1）AC1=

AC2+CC12

=

(5+5)2+52

=5

5

；

（2）畫圖分兩種情況：
①當橫向剪開時：AC1=

(5+5)2+62

=

136

，
②當豎向剪開時：AC1=

(6+5)2+52

=

146

，
∵

146

＞

136

，∴最短路程為2

34

cm．

（3）如圖所示：
連接AA₁，過點O作OD⊥AA₁于點D，
在Rt△ADO和Rt△A₁DO中，
∵OA=OA₁，
∴AD=A₁D，∠AOD=

1

2

∠AOA₁=60°，
∴AD=OAsin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴AA₁=2AD=4

3

，
∴所求的最短的路程為AA₁=4

3

．

點評：此題考查了同學們的空間想象能力，同時要求同學們能將立體圖形側面展開，有一定難度．