Question

李老師在與同學進行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設計了以下三個問題，請你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長.

（1）如圖1，正方體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處；

（2）如圖2，圓錐的母線長為4cm，底面半徑r=cm，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點A；

（3）如圖3，是一個沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對側(cè)中點B處的食物，已知盒高10cm，底面圓周長為32cm，A距下底面3cm..

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）20cm

【解析】

試題分析：（1）由題意可展開正方體，得到矩形A₁ACC₁，螞蟻爬矩形A₁ACC₁的對角線，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果；

（2）首先根據(jù)圓錐的底面周長等于展開圖的弧長，可求出圓錐側(cè)面展開圖中圓心角，進而得出AA₁的長；

（3）作出點A關(guān)于CD的對稱點A'，可構(gòu)造直角三角形結(jié)合相似三角形的知識，求得結(jié)果．

（1）如圖所示：

最短路程的長；

（2）如圖所示：

設圓心角為n，由題意得

解得

則∠AOC=60°，sin60°，解得

所以最短路程的長；

（3）如圖所示：

則

所以最短路程的長

考點：平面展開圖中最短路徑問題

點評：本題是中考熱點題，找出展開圖的與原圖形對應情況是解決問題的關(guān)鍵．