Question

（本題8分）如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，經過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處（如圖1）．

（1）若折疊后點D恰為AB的中點（如圖2），求θ的值；

（2）若θ=45°，四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點B落在點四邊形OABC的邊AB上，求a的值.

 

Answer 1

（1）θ=30°（2）a=8

【解析】

試題分析：（1）延長ND交OA的延長線于M，根據折疊性質得∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，由點D為AB的中點得到D點為MN的中點，所以OD垂直平分MN，則OM=ON，根據等腰三角形的性質得∠MOD=∠NOD=θ，則∠θ+∠θ+∠θ=90°，計算得到∠θ=30°；（2）作ED⊥OA于D，根據折疊性質得AB⊥直線l，OD=OC=3，DE=BC=2，由于θ=45°，AB⊥直線l，即直線l平分∠AOC，則∠A=45°，所以△ADE為等腰直角三角形，則AD=DE=2，所以OA=OD+AD=3+2=5，即a=5．

試題解析：：（1）如圖2，延長ND交OA的延長線于M，∵四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，∵點D為AB的中點，∴D點為MN的中點，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON，∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°；故答案為30°；（2）若點E四邊形0ABC的邊AB上，∴AB⊥直線l 由折疊可知，OD=OC=5，DE=BC=3．∵θ=45°，AB⊥直線l，∴△ADE為等腰直角三角形，∴AD=DE=3，∴OA=OD+AD=5+3=8，∴a=8

考點：翻折變換（折疊問題）．