Question

點P為拋物線y=x²-2mx+m²（m為常數(shù)，m＞0）上任一點，將拋物線繞頂點G逆時針旋轉90°后得到的新圖象與y軸交于A、B兩點（點A在點B的上方），點Q為點P旋轉后的對應點．
（1）當m=2，點P橫坐標為4時，求Q點的坐標；
（2）設點Q（a，b），用含m、b的代數(shù)式表示a；
（3）如圖，點Q在第一象限內，點D在x軸的正半軸上，點C為OD的中點，QO平分∠AQC，AQ=2QC，當QD=m時，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)m的值確定出原拋物線的解析式，進而可求得P、G的坐標，過P作PE⊥x軸于E，過Q作QF⊥x軸于F，根據(jù)旋轉的性質知：△GQF≌△PGE，則QF=GE、PE=GF，可據(jù)此求得點Q的坐標．
（2）已知了Q點坐標，即可得到QF、FG的長，仿照（1）的方法可求出點P的坐標，然后代入原拋物線的解析式中，可求得a、b、m的關系式．
（3）延長QC到E，使得QC=CE，那么AQ=QE；由于OD、QE互相平分，即四邊形OEDQ是平行四邊形（或證△QCD≌△ECO），那么QD=OE=m，而AQ=QE，且QO平分∠AQC，易證得△AQO≌△EQO，則OA=OE=m，即A點坐標為（0，m），然后將點A的坐標代入（2）的關系式中，即可求得m的值．
解答：解：（1）當m=2時，y=（x-2）²，
則G（2，0），
∵點P的橫坐標為4，且P在拋物線上，
∴將x=4代入拋物線解析式得：y=（4-2）²=4，
∴P（4，4），（1分）
如圖，連接QG、PG，過點Q作QF⊥x軸于F，過點P作PE⊥x軸于E，
依題意，可得△GQF≌△PGE；
則FQ=EG=2，F(xiàn)G=EP=4，
∴FO=2．
∴Q（-2，2）．（2分）


（2）已知Q（a，b），則GE=QF=b，F(xiàn)G=m-a；
由（1）知：PE=FG=m-a，GE=QF=b，即P（m+b，m-a），
代入原拋物線的解析式中，得：m-a=（m+b）²-2m（m+b）+m²
m-a=m²+b²+2mb-2m²-2mb+m²
a=m-b²，
故用含m，b的代數(shù)式表示a：a=m-b²．（4分）

（3）如圖，延長QC到點E，使CE=CQ，連接OE；
∵C為OD中點，
∴OC=CD，
∵∠ECO=∠QCD，
∴△ECO≌△QCD，
∴OE=DQ=m；（5分）
∵AQ=2QC，
∴AQ=QE，
∵QO平分∠AQC，
∴∠1=∠2，
∴△AQO≌△EQO，（6分）
∴AO=EO=m，
∴A（0，m），（7分）
∵A（0，m）在新的函數(shù)圖象上，
∴0=m-m²
∴m₁=1，m₂=0（舍），
∴m=1．（8分）
點評：此題主要考查了圖形的旋轉變換、全等三角形的判定和性質、函數(shù)圖象上點的坐標意義等知識，難度較大．