Question

閱讀下列材料：

我們知道，一次函數y＝kx＋b的圖象是一條直線，而y＝kx＋b經過恒等變形可化為直線的另一種表達形式：Ax＋Bx＋C＝0（A、B、C是常數，且A、B不同時為0）．如圖1，點P（m，n）到直線l：Ax＋Bx＋C＝0的距離（d）計算公式是：d＝ ．

例：求點P（1，2）到直線y＝ x－的距離d時，先將y＝ x－化為5x－12y－2＝0，再由上述距離公式求得d＝ ＝ ．

解答下列問題：

如圖2，已知直線y＝－x－4與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝x²－4x＋5上的一點M（3，2）．

（1）求點M到直線AB的距離．

（2）拋物線上是否存在點P，使得△PAB的面積最小？若存在，求出點P的坐標及△PAB面積的最小值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） 6 （2）存在，P（，），△PAB面積的最小值為×5×＝

【解析】

試題分析：（1）將y＝－ x－4化為4x＋3y＋12＝0，由上述距離公式得：

d＝ ＝6

∴點M到直線AB的距離為6         

（2）存在

設P（x，x²－4x＋5），則點P到直線AB的距離為：

d＝

由圖象知，點P到直線AB的距離最小時x＞0，x²－4x＋5＞0

∴d＝＝ ＝(x－ )²＋           

∴當x＝ 時，d最小，為          

當x＝時，x²－4x＋5＝()²－4×＋5＝ ，∴P（，）          

在y＝－ x－4中，令x＝0，則y＝－4，∴B（0，－4）

令y＝0，則xy＝－3。∴A（－3，0）

∴AB＝＝5              

∴△PAB面積的最小值為×5×＝       

考點：直線與拋物線

點評：本題考查直線與拋物線，掌握直線與拋物線的性質，會求點到直線的距離