Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD，CA于點E，F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，下列說法正確的是（　　）

• A．

  AG

  CB

  =

  FG

  FB

• B．GF=EF
• C．3AF=AB
• D．S_△ABC=5S_△DEF

Answer 1

分析：首先根據題意易證得△AFG∽△CFB，根據相似三角形的對應邊成比例與BA=BC，繼而證得

AG

AB

=

FG

FB

正確；由點D是AB的中點，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=

1

2

AB，繼而可得FG=

1

2

BF；即可得AF=

1

3

AC，又由等腰直角三角形的性質，可得AC=

2

AB，即可求得AF=

2

3

AB；則可得S_△ABC=6S_△BDF．

解答：解：A、∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴

AG

BC

=

FG

FB

，
∵BA=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

，故此選項正確；
B、∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，點D是AB的中點，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

CB，
∵tan∠BCD=

BD

BC

=

1

2

，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=

AG

AB

=

1

2

，
∵

AG

AB

=

FG

FB

=

1

2

，
∴FG=

1

2

FB，
∵GE≠BF，
∴點F不是GE的中點，∴GF≠EF．
故此選項錯誤；
C、∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，
∴AF=

2

3

AB，
故此選項錯誤；
D、∵BD=

1

2

AB，AF=

1

3

AC，
∴S_△ABC=6S_△BDF，
故此選項錯誤．
故選：A．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及三角函數等知識．此題難度適中，解題的關鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．