Question

17．在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=x+b的圖象與x軸交于點A、與反比例函數$y=\frac{k}{x}$（k是常數，k≠0）的圖象交于點B（a，3），且這個反比例函數的圖象經過點C（6，1）．
（1）求出點A的坐標；
（2）設點D為x軸上的一點，當四邊形ABCD是梯形時，求出點D的坐標和四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）首先利用C點坐標計算出反比例函數中的k的值，進而可得反比例函數解析式，再利用反比例函數解析式計算出B的坐標，把B點坐標代入y=x+b可得B的值，進而可得一次函數解析式，然后可得一次函數y=x+b的圖象與x軸交點A的坐標；
（2）點D為x軸上的一點，因此不可能出現AD∥BC的情形，只有可能AB∥CD，設直線CD的解析式為y=x+m，把C點坐標代入可得m的值，然后可得D點坐標，分別過點B、C作BE⊥x軸、CF⊥x軸，垂足分別為E、F，然后利用圖形中的面積關系計算出四邊形ABCD的面積即可．

解答 解：（1）方法一：∵反比例函數$y=\frac{k}{x}$經過點C（6，1），
∴$1=\frac{k}{6}$，
∴k=6，
∴反比例函數解析式為$y=\frac{6}{x}$．
∵B（a，3）在該反比例的圖象上，
∴$3=\frac{6}{a}$，
∴a=2，
即B（2，3），
∵y=x+b經過點B（2，3），
∴y=x+1，
令y=x+1=0，得x=-1，
∴A（-1，0）．
方法二：∵點C（6，1）與點B（a，3）都在反比例函數$y=\frac{k}{x}$的圖象上，
∴6×1=a×3=k，
∴a=2，
∴B（2，3）．
∵y=x+b經過點B（2，3），
∴y=x+1，
令y=x+1=0，得x=-1，
∴A（-1，0）．

（2）∵四邊形ABCD是梯形，且點D為x軸上的一點，
∴不可能出現AD∥BC的情形，只有可能AB∥CD，
∵直線AB的解析式為y=x+1，
∴可設直線CD的解析式為y=x+m，
∵y=x+m經過點C（6，1），
∴y=x-5，
令y=x-5=0，得x=5，
∴D（5，0），
分別過點B、C作BE⊥x軸、CF⊥x軸，垂足分別為E、F，
則S_梯形ABCD=S_△ABE+S_梯形BEFC-S_△DCF，
=$\frac{1}{2}AE•BE+\frac{1}{2}（BE+CF）•EF-\frac{1}{2}DF•CF$
=$\frac{1}{2}×3×3+\frac{1}{2}×（3+1）×4-\frac{1}{2}×1×1$=12．

點評 此題主要考查了反比例函數與一次函數交點問題，以及待定系數法求一次函數和反比例函數解析式，關鍵是掌握凡是函數圖象經過的點必能滿足解析式．