Question

將長為1，寬為a的長方形紙片如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于長方形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的長方形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）．
（1）第一次操作后，剩下的長方形的長和寬分別為多少？（用含a的代數式表示）
（2）第二次操作后，剩下的長方形的面積是多少？（列出代數式，不需化簡）
（3）假如第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則a的值是多少？

Answer 1

解：（1）∵長為1，寬為a的長方形紙片，
∴第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1-a；

（2）∵第二次操作時正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1，
∴剩下的長方形的面積是（1-a）（2a-1）；

（3）根據（2）所得，第二次操作后剩下的長方形兩邊長分別是1-a和2a-1，
當剩下的長方形恰好是正方形時，即1-a=2a-1，
解得：a=．
分析：（1）根據所給的圖形可以看出每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬，再根據長為1，寬為a的長方形即可得出剩下的長方形的長和寬；
（2）再根據（1）所得出的原理，得出第二次操作時正方形的邊長為1-a，即可求出第二次操作以后剩下的矩形的兩邊的長，再根據面積公式即可得出答案；
（3）根據（2）所得出的長方形兩邊長分別是1-a和2a-1，并且剩下的長方形恰好是正方形，即可求出a的值．
點評：本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是分別求出每次操作后剩下的矩形的兩邊的長度．