Question

6．如圖，直線AB過(guò)x軸上的一點(diǎn)A（2，0），且與拋物線y=ax²相交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1）．
（1）求直線AB和拋物線y=ax²的解析式；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，求S_△BOC；
（2）若拋物線上在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)D，使得S_△AOD=S_△BOC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）連線兩函數(shù)解析式成方程組，解之即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將x=0代入直線AB的解析式中求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S_△BOC的值；
（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m²）（m＞0），根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△AOD=S_△BOC，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，取其正值代入點(diǎn)D的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（2，0）、B（1，1）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+2．
∵點(diǎn)B（1，1）在拋物線y=ax²上，
∴1=a，
∴拋物線的解析式為y=x²．
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，4）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+2=2，
∴直線AB與y軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），
∴OE=2，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OE•|x_C-x_B|=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m²）（m＞0），
∵點(diǎn)A（2，0），
∴OA=2．
∵S_△AOD=S_△BOC=$\frac{1}{2}$OA•y_D=$\frac{1}{2}$×2m²=3，
∴m=$\sqrt{3}$或m=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過(guò)解方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）根據(jù)面積公式列出關(guān)于m的一元二次方程．