Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點E，DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F．

（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長；
（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF= AB．
（3）如圖3，若∠EDF的兩邊分別交AB，AC的延長線于E、F兩點，（2）中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請直接寫出線段BE，AB，CF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，

∵點D是線段BC的中點，

∴BD=DC= BC=2，

∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，

∴∠CDF=30°，

又∵∠EDF=120°，

∴∠EDB=30°，

∴∠BED=90°

∴BE= BD=1

（2）

解：如圖2中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，

∴△BDM≌△CDN，

∴BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，

∴∠EDM=∠NDF，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△EDM≌△FDN，

∴ME=NF，

∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD= AB

（3）

解：結論不成立．結論：BE﹣CF= AB．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，

∴△BDM≌△CDN，

∴BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，

∴∠EDM=∠NDF，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△EDM≌△FDN，

∴ME=NF，

∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD= AB

【解析】（1）如圖1中，只要證明∠BED=90°，根據直角三角形30度角性質即可解決問題．（2）如圖2中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要證明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解決問題．（3）（2）中的結論不成立．結論：BE﹣CF= AB，證明方法類似（2）．
【考點精析】認真審題，首先需要了解含30度角的直角三角形(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)．