Question

已知：如圖，平面直角坐標系內的矩形ABCD，頂點A的坐標為（0，3），BC=2AB，P為AD邊上一動點（P與點A、D不重合），以點P為圓心作⊙P與對角線AC相切于點F，過P、F作直線L，交BC邊于點E，當點P運動到點P₁位置時，直線L恰好經過點B，此時直線的解析式是y=2x+1
（1）BC、AP₁的長；
（2）①求過B、P₁、D三點的拋物線的解析式；
②求當⊙P與拋物線的對稱軸相切時⊙P的半徑r的值；
（3）以點E為圓心作⊙E與x軸相切，當直線L把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3：5時，則⊙P和⊙E的位置關系如何？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點在直線y=2x+1上，
∴B（0，1）．
又∵A（0，3），
∴AB=2，BC=2AB=4．
∵P₁為圓心，F₁為P₁與直線AC的切點，
∴P₁F₁⊥AC，∠BAF₁+∠ABF₁=90°．
又∵∠AP₁F₁+∠ABF₁=90°，
∴∠AP₁F₁=∠BAF₁．
在Rt△ABC和Rt△P₁AB中，
∵∠BP₁A=∠CAB，
∴Rt△BP₁A∽Rt△CAB．
∴=，AP₁===1；


（2）易求B（0，1）、P₁（1，3）、D（4，3）．
設過B、P₁、D三點的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0），則
，
解得，，
所以拋物線解析式為：y=-x²+x+1；
②在Rt△ABP₁中，∵AB=2，AP₁=1，
∴BP₁=，
當⊙P和⊙E相切時，PF=PE-EF=-1；
∵拋物線解析式為y=-x²+x+1，
∴拋物線的對稱軸是為：x=．
當⊙P與直線x=相切時，AP=-r或AP=+r．
∵△AFP∽△ADC，
∴AP：AC=PF：CD，即AP：2=（-1）：2，
∴AP=5-．
當AP=-r時，-r=5-，解得r=-（不合題意，舍去）；
當AP=+r時，+r=5-，解得r=-．
綜上所述，當⊙P與拋物線的對稱軸相切時⊙P的半徑r的值是-；

（3）外離或相交．理由如下：
∵Rt△APF∽Rt△ACD，
∴AP：AC=PF：CD，
∴AP=5-．
設AP=m，梯形PECD的面積為S．
∵1≤m＜4，
∴PD=4-m，EC=4-m+1=5-m，CD=2，
∴S=0.5（4-m+5-m）×2=9-2m（1≤m＜4）．
∵矩形ABCD的面積是8，且直線L把矩形ABCD分成兩部分的面積之比值為3：5，
∴S_{四邊形PECD}=5或者S_{四邊形PECD}=3，
當S_{四邊形PECD}=5時，9-2m=5，m=2，即AP=2，
∴1≤AP＜5-，
∴此時兩圓外離．
當S_{四邊形PECD}=3時，9-2m=3，m=3，即AP=3，
∴5-＜AP＜4，
∴此時兩圓相交．
分析：（1）根據題意可求出點B的坐標，從而得出BC的長，再證明Rt△BP₁A∽Rt△CAB．即可求出AP₁的長；
（2）①把點B、P₁、D的坐標分別代入拋物線解析式y=ax²+bx+c（a≠0），利用待定系數法求該拋物線的解析式；
②根據①的拋物線的解析式求得對稱軸方程．然后利用相似三角形△AFP∽△ADC的對應邊的比成比例來求r的值；
（3）根據圓與圓的位置關系，圓心距＞兩圓的半徑時外離，圓心距=兩圓的半徑時相切，圓心距＜兩圓的半徑時相交，求出AP相應的取值范圍，確定⊙P和⊙E的位置關系．
點評：本題綜合考查了函數解析式，及直線與圓、圓與圓的位置關系．圓與圓的位置關系有：相離（外離，內含），相交、相切（外切、內切），直線和圓的位置關系有：相交、相切、相離，所以這樣一來，我們在分析過程中不能忽略所有的可能情況．