Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點M為頂點，連接OM，若y與x的部分對應值如表所示：

x	…	﹣1	0	3	…
y	…	0		0	…

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線與y軸交于點C，點Q是直線BC下方拋物線上一點，點Q的橫坐標為xQ．若S△BCQ≥S△BOC，求xQ的取值范圍；

（3）如圖2，平移此拋物線使其頂點為坐標原點，P（0，﹣1）為y軸上一點，E為拋物線上y軸左側的一個動點，從E點發出的光線沿EP方向經過y軸上反射后與此拋物線交于另一點F．則當E點位置變化時，直線EF是否經過某個定點？如果是，請求出此定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）xQ≥或xQ≤；（3）定點（0，1）．

【解析】

（1）由拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，（﹣1，0），（3，0），即可求得拋物線的解析式；

（2）首先取OB的中點P（，0），連接CP，然后過點P作PQ∥BC交拋物線于Q，首先求得直線BC的解析式，然后由平行線的性質，求得直線PQ的解析式，再聯立 ，即可求得答案；

（3）首先得到平移后的拋物線的解析式為：y＝﹣x2，再過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥y軸于N，易得Rt△EPM∽Rt△FPN，再聯立，即可求得答案．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，（﹣1，0），（3，0），

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+；

（2）取OB的中點P（，0），連接CP，

則S△PBC＝S△BOC，

過點P作PQ∥BC交拋物線于Q，即為所求；

∵拋物線與y軸交于點C，

∴點C的坐標為：（0，），

設直線BC的解析式為y＝kx+b，

，

解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+，

∴設直線PQ的解析式為y＝﹣x+n，

∴﹣×+n＝0，

∴n＝，

∴直線PQ的解析式為y＝﹣x+，

聯立，

解得：x＝，

若S△BCQ≥S△BOC

則xQ的取值范圍為：xQ≥或xQ≤；

（3）平移后的拋物線的解析式為：y＝﹣x2，

過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥y軸于N，

由反射可知：∠EPM＝∠FPN，

∴Rt△EPM∽Rt△FPN，

∴，

設E（x1，y1）、F（x2，y2），設直線EF的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴x1（1+y2）+x2（y1+1）＝0，

聯立，

整理得x2+2kx+2b＝0，

∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝2b，

∵x1（1+y2）+x2（y1+1）＝x1（1+kx2+b）+x2（kx1+b+1）＝0，

∴2bx1x2+（b+1）（x1+x2）＝0，

∴2kb﹣2k＝0，b＝1，

∴直線EF的解析式為y＝kx+1

∴直線EF過定點（0，1）．