Question

如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．
（1）求證：；
（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；
（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運(yùn)動（當(dāng)矩形的邊PQ到達(dá)A點時停止運(yùn)動），設(shè)運(yùn)動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由相似三角形，列出比例關(guān)系式，即可證明；
（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求其最大面積；
（3）本問是運(yùn)動型問題，要點是弄清矩形EFPQ的運(yùn)動過程：
（I）當(dāng)0≤t≤2時，如答圖①所示，此時重疊部分是一個矩形和一個梯形；
（II）當(dāng)2＜t≤4時，如答圖②所示，此時重疊部分是一個三角形．
解答：（1）證明：∵矩形EFPQ，
∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，
∴．

（2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC-BD=5-4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，
∴，即，∴EH=4HF，
已知EF=x，則EH=x．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-x．
S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4-x）=-x²+4x=-（x-）²+5，
∴當(dāng)x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．

（3）解：由（2）可知，當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時，矩形的長為，寬為4-×=2．
在矩形EFPQ沿射線AD的運(yùn)動過程中：
（I）當(dāng)0≤t≤2時，如答圖①所示．

設(shè)矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD分別交于點H₁，D₁．
此時DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD-DD₁=2-t，HH₁=H₁D₁-HD₁=t，AH₁=AH-HH₁=2-t，．
∵KN∥EF，∴，即，得KN=（2-t）．
S=S_梯形KNFE+S_矩形EFP1Q1
=（KN+EF）•HH₁+EF•EQ₁
=[（2-t）+]×t+（2-t）
=t²+5；
（II）當(dāng)2＜t≤4時，如答圖②所示．

設(shè)矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD交于點D₂．
此時DD₂=t，AD₂=AD-DD₂=4-t，
∵KN∥EF，∴，即，得KN=5-t．
S=S_△AKN
=KN•AD₂
=（5-t）（4-t）
=t²-5t+10．
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=．
點評：本題是運(yùn)動型相似三角形壓軸題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的表達(dá)式與最值、矩形、等腰直角三角形等多個知識點，涉及考點較多，有一定的難度．難點在于第（3）問，弄清矩形的運(yùn)動過程是解題的關(guān)鍵．