Question

（2012•舟山）如圖，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD，CA于點E，F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下五個結論：
①

AG

AB

=

FG

FB

；②∠ADF=∠CDB；③點F是GE的中點；④AF=

2

3

AB；⑤S_△ABC=5S_△BDF，
其中正確結論的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：由△AFG∽△BFC，可確定結論①正確；
由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可確定結論②正確；
由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，所以點F不是GE中點，可確定結論③錯誤；
由△AFG≌△AFD可得AG=

1

2

AB=

1

2

BC，進而由△AFG∽△BFC確定點F為AC的三等分點，可確定結論④正確；
因為F為AC的三等分點，所以S_△ABF=

1

3

S_△ABC，又S_△BDF=

1

2

S_△ABF，所以S_△ABC=6S_△BDF，由此確定結論⑤錯誤．

解答：解：依題意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，∴

AG

BC

=

FG

FB

，
又AB=BC，∴

AG

AB

=

FG

FB

．
故結論①正確；
如右圖，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4．
在△ABG與△BCD中，

∠3=∠4 AB=BC ∠BAG=∠CBD=90°

，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，∴AG=AD；
在△AFG與△AFD中，

AG=AD ∠FAG=∠FAD=45° AF=AF

，
∴△AFG≌△AFD（SAS），∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故結論②正確；
∵△AFG≌△AFD，∴FG=FD，又△FDE為直角三角形，∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即點F不是線段GE的中點．
故結論③錯誤；
∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC=

2

AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD=

1

2

AB=

1

2

BC；
∵△AFG∽△BFC，∴

AG

BC

=

AF

FC

，∴FC=2AF，
∴AF=

1

3

AC=

2

3

AB．
故結論④正確；
∵AF=

1

3

AC，∴S_△ABF=

1

3

S_△ABC；又D為中點，∴S_△BDF=

1

2

S_△ABF，
∴S_△BDF=

1

6

S_△ABC，即S_△ABC=6S_△BDF．
故結論⑤錯誤．
綜上所述，結論①②④正確，
故答案為：①②④．

點評：本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應用，有一定的難度．對每一個結論，需要仔細分析，嚴格論證；注意各結論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關聯關系，需要善加利用．