Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為直角梯形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3）．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從C、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度由A向O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤5），
（1）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形PQAB是平行四邊形？
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形PQAB是等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)PQAB為平行四邊形時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)和Q（10-2t，0）P（t，3）推出 6-t=10-2t，從而可求出t．
（2）當(dāng)PQAB為等腰梯形時(shí)，根據(jù)勾股定理求出AB=5，再利用等腰梯形的性質(zhì)可得9t²-60t+109=25，解得t即可．

解答：解：（1）Q（10-2t，0），P（t，3）
∵BP‖AQ
∴PQAB為平行四邊形時(shí)，
BP=AQ
則BP=6-t，AQ=2t
BP=AQ推出 6-t=2t
解得t=2

（2）∵BP‖AQ
∴四邊形PQAB為等腰梯形時(shí)QP=AB．
如圖，過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3）．
∴DA=4，BD=3，
∴在直角△ABD中，由勾股定理知AB=

42+32

=5
PQ=

(10-3t)2+32

∵AB=PQ，
∴9t²-60t+109=25
9t²-60t+84=0
3t²-20t+28=0
（3t-14）（t-2）=0
解得t₁=

14

3

，t₂=2
又∵t=2時(shí)PQAB為平行四邊形  （  （1）中已證  ）
所以t=

14

3

，

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．