Question

（1）如圖1，AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，連接OC，若AB=10，CD=8，求AE的長．
（2）如圖2，已知AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F．
求證：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理得到CE=

1

2

CD=4，在Rt△OCE中，OC=

1

2

AB=5，CE=4，利用勾股定理可計算出OE，然后用OA-OE即可得到AE；
（2）根據角平分線定義得到∠1=∠2，由DE∥AC，DF∥AB，則四邊形ACDE為平行四邊形，且∠1=∠4，∠2=∠4，于是∠1=∠3，則ED=EA，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得到結論．

解答：（1）解：∵弦CD⊥AB，
∴CE=

1

2

CD=4，∠CEO=90°，
在Rt△OCE中，OC=

1

2

AB=5，CE=4，
∴OE=

OC2-CE2

=3，
∴AE=OA-OE=5-3=2；

（2）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形ACDE為平行四邊形，且∠1=∠4，∠2=∠4，
∴∠1=∠3，
∴ED=EA，
∴四邊形AEDF是菱形．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理以及菱形的判定．