Question

【題目】我們在解決數學問題時，經常采用“轉化”（或“化歸”）的思想方法，即把待解決的問題，通過轉化歸結到一類已解決或比較容易解決的問題．

譬如，求解一元二次方程，通常把它轉化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，通常把它轉化為整式方程來解，只是因為分式方程“去分母”時可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗．

請你運用上述把“未知”轉化為“已知”的數學思想，解決下列問題．

（1）解方程：x3+x2﹣2x＝0；

（2）解方程：＝x；

（3）如圖，已知矩形草坪 ABCD 的長 AD＝8m，寬 AB＝3m，小華把一根長為10m 的繩子的一端固定在點 B，沿草坪邊沿 BA、AD 走到點 P 處，把長繩 PB 段拉直并固定在點 P，然后沿草坪邊沿 PD、DC 走到點 C 處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點 C．求 AP 的長．

Answer 1

【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；（2）x＝3；（3）AP 的長為 4m．

【解析】

（1）因式分解多項式，然后得結論；

（2）兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解，注意驗根；

（3）設AP的長為xm，根據勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解即可.

（1）x3+x2-2x=0，

x（x2+x-2）=0，

x（x+2）（x-1）=0

所以x=0或x+2=0或x-1=0

∴x1=0，x2=-2，x3=1；

（2）=x，

方程的兩邊平方，得2x+3=x2

即x2-2x-3=0

（x-3）（x+1）=0

∴x-3=0或x+1=0

∴x1=3，x2=-1，

當x=-1時，==1≠-1，

所以-1不是原方程的解．

所以方程=x的解是x=3；

（3）因為四邊形ABCD是矩形，

所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m，

設AP=xm，則PD=（8-x）m，

因為BP+CP=10，

BP=，CP=，

∴=10，

∴，

兩邊平方，得（8-x）2+9=100-20+9+x2

整理，得5=4x+9

兩邊平方并整理，得x2-8x+16=0

即（x-4）2=0

所以x=4．

經檢驗，x=4是方程的解．

答：AP的長為4m．