Question

如圖，拋物線(xiàn)（a0）與雙曲線(xiàn)相交于點(diǎn)A，B. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；

（2）過(guò)拋物線(xiàn)上點(diǎn)A作直線(xiàn)AC∥x軸，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)C，求所有滿(mǎn)足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).

 

Answer 1

：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線(xiàn)上，

所以k=4. 故雙曲線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.

設(shè)點(diǎn)B（t，），，AB所在直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，則有

  解得，.

于是，直線(xiàn)AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故

，整理得，

解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．

因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線(xiàn)（a0）上，所以 得   …………（10分）

（2）如圖，因?yàn)?i>AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.

設(shè)拋物線(xiàn)（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D， 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.

因?yàn)椤?i>COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.

（i）將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.

延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得=，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).

（ii）作△關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形△，得到點(diǎn)（1，）；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E_２（2，）是符合條件的點(diǎn)．

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.         …………（20分）

 

解析:略